MATEMATIKA-UKURAN PEMUSATAN DATA-PERTEMUAN 4

Ukuran Pemusatan Data

Sekumpulan data biasanya digambarkan dengan suatu nilai pusat (central tendency). Nilai tersebut disebut dengan Ukuran Pemusatan Data. Nilai ukuran pemusatan data (average) merupakan nilai yang mewakili suatu kumpulan data sehingga nilai tersebut harus memiliki sifat-sifat berikut.

Harus mempertimbangkan semua data dalam kelompok data.

Tidak boleh terpengaruh oleh nilai-nilai ekstrim atau pencilan (outlier).

Harus stabil dari sampel ke sampel.

Harus mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut.

Ada tiga ukuran pemusatan data yang sering digunakan, yaitu Rata-rata, Median dan Modus. Dari ketiga ukuran pemusatan data tersebut, rata-rata (mean) memenuhi semua sifat di atas, kecuali sifat yang kedua. Rata-rata sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim atau pencilan (outlier). Sebagai contoh, misalkan suatu kumpulan data adalah

2; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 8; 9

Rata-rata, median dan modus dari kumpulan data tersebut memiliki nilai yang sama, yaitu 6. Jika nilai terakhir yang semula bernilai 9 diganti menjadi 90, maka rata-ratanya akan berubah menjadi 14,10, sedangkan nilai median dan modus masih tetap sama yaitu 9. Dalam kasus ini menunjukkan bahwa nilai median dan modus lebih baik dari rata-rata, tapi tetap saja nilai median dan modus tersebut tidak memenuhi sifat yang lainnya. Oleh karena itu, rata-rata merupakan ukuran pepusatan data yang terbaik sehingga paling 

Rata-Rata

Rata-rata adalah nilai yang mewakili himpunan atau sekumpulan data (a set of data). Rata-rata sangat baik digunakan apabila sebaran data merata atau nilai antara data yang satu dengan data yang lain tidak berbeda jauh (homogen).

Rata-rata hitung digunakan apabila:

• Jenis datanya adalah numerik (interval atau rasio). Jika datanya adalah kategorik ordinal maka sebaiknya menggunakan median dan jika datanya adalah numerik nominal, maka sebaiknya menggunakan modus.
• Sebaran datanya simetris.
• Tidak terdapat data pencilan (outlier).

Contoh soal penghitungan rata-rata:

Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9

Jawab:

Rata-rata dihitung menggunakan rumus:$\begin{aligned} \bar{x}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\\ &=\frac{1}{10}(2+4+5+6+6+7+7+7+8+9)\\ &=\frac{1}{10}61\\ &=6\text{,}1 \end{aligned}$Dengan demikian, rata-rata dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika adalah 6,1.

Median

Median adalah nilai yang terletak di bagian tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan. Nilai median dipengaruhi oleh banyaknya pengamatan dan tidak tergantung pada besarnya nilai pengamatan walaupun nilainya tersebut sangat ekstrem. Dengan demikian, median sangat cocok digunakan untuk mewakili data yang distribusinya tidak homogen.

Median sangat baik digunakan ketika:

• rata-rata tidak memenuhi syarat pada data berjenis interval/rasio yaitu ketika distribusi data tidak simetris,
• skala data numerik ordinal,

Jika rata-rata tak memenuhi syarat untuk digunakan sehingga yang digunakan adalah median, maka varian dan standar deviasi juga tak layak untuk digunakan.

Contoh soal 1:
(menghitung median yang banyaknya data ($n$) ganjil)

Hitunglah median dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10

Jawab:

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

• Diketahui datanya adalah 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10.
• Data tersebut diurutkan dari nilainya yang terkecil ke yang terbesar. Hasil setelah pengurutan adalah 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10
• Banyaknya data ($n$) = 11.
• Posisi median ditentukan menggunakan rumus$\begin{aligned} \text{Posisi Median}&=\frac{1}{2}(n+1)\\ &=\frac{1}{2}(11+1)\\ &=\frac{1}{2}(12)\\ &=6 \end{aligned}$Artinya median adalah data yang berada pada urutan keenam ($x_6$).
• Dengan demikian nilai median data adalah 7.

Contoh soal 2:
(menghitung median yang banyaknya data ($n$) genap)

Hitunglah median dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9

Jawab:

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

• Diketahui datanya adalah: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9.
• Data tersebut diurutkan dari nilainya yang terkecil ke yang terbesar. Hasil setelah pengurutan adalah: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
• Banyaknya data ($n$) adalah 10.
• Posisi median ditentukan menggunakan rumus$\begin{aligned} \text{Posisi Median}&=\frac{1}{2}(n+1)\\ &=\frac{1}{2}(10+1)\\ &=\frac{1}{2}(11)\\ &=5\text{,}5 \end{aligned}$Artinya nilai median data adalah data yang berada diantara data urutan kelima ($x_5$) dan keenam ($x_6$).
• Dengan demikian nilai median data adalah$\begin{aligned} \text{Median}&=\frac{1}{2}(6+7)\\ &=\frac{1}{2}(14)\\ &=6\text{,}5 \end{aligned}$

 digunakan dalam analisis statistik.

Share this post